У математиці функція називається монотонною, якщо вона має особливу властивість: при зміні значення аргументу функції, значення самої функції або завжди збільшується, або завжди зменшується. Тобто монотонна функція завжди "йде" в одному напрямку – або вгору, або вниз по осі координат.
Існує два види монотонних функцій: зростаючі та спадні. Зростаюча функція зростає зі збільшенням значення аргументу, тобто значення функції збільшується зі збільшенням значення аргументу. Наприклад, функція y = x^2 є зростаючою, оскільки зі збільшенням значення x, значення y також збільшується.
Суттєва функція, навпаки, зменшується зі збільшенням значення аргументу. Значення функції зменшується зі збільшенням значення аргументу. Наприклад, функція y = -x є спадною, оскільки зі збільшенням значення x, значення y зменшується.
Монотонні функції знаходять широке застосування у різних галузях: у математичному аналізі, економіці, фізиці тощо. буд. Вони дозволяють аналізувати зміна значень величин залежно від вхідних параметрів і прогнозувати їх поведінка.
| Тип монотонності | Визначення | приклад |
|---|---|---|
| Суворо зростає | Якщо для будь-яких двох значень x1 і x2 з області визначення функції, x1 < x2, виконується f(x1) < f(x2). | f(x) = x^2 |
| Строго зменшується | Якщо для будь-яких двох значень x1 і x2 з області визначення функції, x1 < x2, виконується f(x1) > f(x2). | f(x) = -x^3 |
| Незменшується | Якщо для будь-яких двох значень x1 і x2 з області визначення функції, x1 ≤ x2, виконується f(x1) ≤ f(x2). | f(x) = x^2 |
| Незростає | Якщо для будь-яких двох значень x1 і x2 з області визначення функції, x1 ≤ x2, виконується f(x1) ≥ f(x2). | f(x) = -x^3 |
Як довести, що функція є монотонною?
Визначення. Булева функція f(x1, …, xn) називається монотонною (належить класу M), якщо для будь-якої пари наборів α та β таких, що α β, виконується умова f(α)≤ f(β) (назвемо його умовою монотонності).
Як зрозуміти монотонну функцію?
Якщо похідна функції позитивна по всьому проміжку визначення, то функція є монотонно зростаючою. Якщо похідна функції негативна по всьому проміжку визначення, то функція є монотонно спадаючою. Якщо похідна не змінює знак на проміжку визначення, то функція не є монотонної.
Які функції називаються монотонними прикладами?
Приклад: 1) лінійна функція y=-3x є спадною на проміжку − ∞ ; + ∞. 2) Квадратична функція y = x 2 є спадною на проміжку − ∞ ; 0 . Зростаючі функції та спадні функції називають монотонними функціями.